5. Hreyfing í tveimur víddum

Hingað til hefur verið fjallað um einvíða hreyfingu, þar sem staðsetning, hraði og hröðun eru öll eftir sömu beinu línunni. Í eðlisfræði er hins vegar nauðsynlegt að geta lýst hreyfingu í tveimur og jafnvel þremur víddum.

Ábending

Flugvél setur stefnuna beint norður á við og flýgur á hraðanum \(v_f= 20 \text{ m/s}\). Það er hvöss vestanátt, \(v_v =15\text{ m/s}\), sem vélin berst með. Hver er hraði flugvélarinnar og stefna hraðans miðað við jörðu?

_images/flugvel.svg

Hér notum við vigursamlagningu. Hreyflar vélarinnar gefa henni hraða \(v_f\) í stefnu norður (stefnu \(y\) - áss). Þá er:

\[\begin{aligned}\overline{v}_f = \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \end{pmatrix}\end{aligned}\]

Vindurinn blæs frá vestri til austurs, til hægri (í stefnu \(x\) - áss). Því er:

\[\begin{aligned}\overline{v}_v = \begin{pmatrix} 15 \\ 0 \end{pmatrix}\end{aligned}\]

Leggjum nú saman vigrana \(\overline{v}_f\) og \(\overline{v}_v\):

\[\begin{aligned} \overline{v} &= \overline{v}_f + \overline{v}_v \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 15 \\ 20 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

Hraði flugvélarinnar miðað við jörðina er því lengdin á \(\overline{v}\):

\[\begin{aligned} |\overline{v}| &= \sqrt{15^2+20^2} \\ &=\sqrt{625} \\ &= 25 \end{aligned}\]

Vélin er því að fara á \(25\) m/s, en stefna hraðans er í norðaustur.

Hlutur á hreyfingu hefur breytilega staðsetningu sem táknuð er með ferli í hnitakerfi. Hraði hlutarins er snertill við þennan feril og hröðun hans bendir alltaf inn í kúpta hluta ferilsins.

Hröðunarvigurinn hefur stefnu óháð staðsetningu og hraða hlutar, en segir til um hvernig hraðinn og stefna hans eru að breytast.

_images/hrodun.svg

Kasthreyfingar og hringhreyfingar eru algengar tvívíðar hreyfingar.

5.1. Kasthreyfing

Kasthreyfing (e. projectile motion) er þegar hlutur er á hreyfingu í þyngdarsviði og verður ekki fyrir neinni hröðun nema þyngdarhröðun. Í okkar einfölduðu kerfum er gerum við ráð fyrir að loftmótstaða sé engin, svo allir kastferlar (e. trajectories) verða hluti af fleygboga.

Ábending

Tveir eins boltar eru látnir falla til jarðar úr sömu hæð, bolta 1 er sleppt úr kyrrstöðu en bolta 2 er kastað lárétt áfram. Gerum ráð fyrir engri loftmótstöðu. Hvor boltanna lendir á undan?

Lausn

Á báða boltana verkar sama þyngdarafl, svo þeir fá sömu hröðun niður sem nemur þyngdarhröðuninni og fá báðir sívaxandi hraða niður á við.

Bolti 1 mun því hreyfast lóðrétt niður á við. Bolti 2 mun halda áfram að hreyfast lárétt því hann verður ekki fyrir neinni hröðun í lárétta stefnu (fyrsta lögmál Newtons). Hröðunin sem bolti 2 verður fyrir lóðrétt hefur engin áhrif á lárétta hreyfingu hans (og lárétta hreyfingin hefur engin áhrif á lóðrétta hröðun).

Boltarnir tveir byrjuðu báðir með sama lóðrétta hraðann og verða fyrir sömu lóðréttu hreyfingunni. Þeir ferðast því samtímis niður á við og lenda því á sama tíma.

_images/tveirboltar.svg

Ferill bolta 1 er lóðrétt strik en ferill bolta 2 er fleygbogi, því hann hefur hreyfingu í tvær stefnur.

Við lausn dæma um kasthreyfingar eru hraðajöfnurnar notaðar. Það borgar sig að teikna mynd til að átta sig á dæminu. Þá þarf að ákveða hnitakerfi, en venjan er að hafa x-ás láréttan og y- (eða z-) ás lóðréttan upp þannig á þyngdarhröðun bendi niður. Upphafspunkt hreyfingarinnar er þægilegast að setja í miðju hnitakerfisins, því hnitin (0,0) geta einfaldað reikning töluvert. Hafið svo í huga að þar sem þyngdarhröðunin er einungis í y- (eða z-) stefnuna eru jöfnurnar fyrir staðsetningu sem fall af tíma eftirfarandi:

\[\begin{aligned} x &= x_0 + v_{0,x} \cdot t \\ y &= y_0 + v_{0,y} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 \end{aligned}\]

Ábending

Sagan segir að landið Gambía á vesturströnd Afríku hafi orðið til þegar breski flotinn sigldi upp Gambíuána, skaut úr fallbyssum sínum á báða borða, og eignuðu sér landið innan færis fallbyssanna. Ef upphafshraði fallbyssukúlu er \(\overline{v} = (v_x, v_y) = (50,42)\) m/s, hversu breið yrði Gambía?

Lausn

Byrjum á að teikna mynd. Stillum hnitakerfinu upp þannig að fallbyssan sé í \((x_0,y_0) = (0,0)\), x-ásinn liggi út frá ánni í skotstefnuna og y-ásinn er upp. Gerum ráð fyrir að hæð lendingarstaðarins sé jöfn hæð fallbyssunnar, þ.e. \(y_1=0\) . Takið eftir að y-ásinn er skilgreindur þannig að þyngdarhröðunin er neikvæð.

_images/gambia.svg

Notum að við vitum að lokahnit kúlunnar eru \((x_1,y_1) = (x_1,0)\) , þ.e. kúlan mun lenda á jafnsléttu. Rifjum upp hreyfijöfnurnar og notum þá sem gefur staðsetningu sem fall af tíma. Viljum finna tímann \(t_1\) þegar \(y=0\) .

\[\begin{aligned} y_1 &= y_0 + v_{0,y} \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \\ 0 &= 0 + v_{0,y} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2 \end{aligned}\]

Þetta er annars stigs margliða með óþekkta stærð t sem við leysum:

\[ \begin{aligned}\begin{aligned} &\text{a} \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 \\ &\text{a:=} \frac{1}{2} \text{g} \\ &\text{b:=} v_{0,y} = 42 m/s \\ &\text{c=0} \\ \end{aligned}\\\begin{aligned} \Rightarrow t &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\text{a}c}}{2\text{a}} \\ &= \frac{-v_{0,y} \pm \sqrt{v_{0,y}^2-4 \cdot \frac{1}{2} g}}{2 \cdot \frac{1}{2} g} \\ &= \frac{-42 \pm \sqrt{42^2-2 \cdot -9.8}}{-9.8} \\ &= \begin{cases} 0 \text{ s} = t_0\\ 8.58 \text{ s} = t_1 \end{cases} \end{aligned}\end{aligned} \]

Það eru tvær lausnir á jöfnunni því y-hnitið er 0 bæði í upphafi og enda ferils kúlunnar. Nú getum við notað sömu hreyfijöfnu, í þetta skipti fyrir x-hnitin, til að finna hversu langt fallbyssan drífur. Athugið að þyngdarhröðunin er lóðrétt og því hornrétt á x-ásinn svo hún hefur ekki áhrif á x-þátt hraðans, svo \(a=0\) .

\[\begin{aligned} x_1 &= x_0 + v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \\ &= 0 + 50 \cdot 8.58 + 0 \\ &= 429 \text{ m} \end{aligned}\]

Fallbyssukúlan lendir því 429 metrum frá ánni og breidd Gambíu er tvöföld sú lengd: 858 m.

Finnum nú jöfnu fyrir ferlinum sem hlutur ferðast eftir í loftinu og sannfærum okkur um að hann sé fleygbogi. Skoðum hlut sem hefur upphafshraða \(v_0\) í stefnu hornsins \(\alpha_0\) og upphafsstaðsetningu \((0,0)\) .

Byrjum á því að liða \(v_0\) í \(x\) - og \(y\) - stefnu.

\[\begin{aligned} v_{0x} &= v_0\cos(\alpha_0) \\ v_{0y} &= v_0\sin(\alpha_0) \end{aligned}\]
_images/v0split.svg

Því næst notum við hreyfijöfnurnar. Hröðunin í \(x\) - stefnu er núll svo staðsetningin í \(x\) - stefnu er

\[x=v_{0x} t = v_0\cos(\alpha_0)t\]

Hröðunin í \(y\) - stefnu er \(g\) (niður á við, \(g<0\)) svo staðsetningin í \(y-\) stefnu er:

\[y=v_{0y} t + \frac{1}{2}gt^2 = v_0\sin(\alpha_0) t+ \frac{1}{2}gt^2\]

Einangrum \(t\) út frá jöfnunni fyrir \(x\):

\[t=x/(v_0\cos(\alpha_0))\]

og setjum inn í jöfnuna fyrir \(y\) . Þá fæst

\[\begin{aligned} y& =v_0\sin(\alpha_0)t + \frac{1}{2}gt^2 \\ &= v_0\sin(\alpha_0) \cdot \frac{x}{v_0\cos(\alpha_0)} + \frac{1}{2}g \left(\frac{x}{v_0\cos(\alpha_0)}\right)^2\\ &= \frac{\sin(\alpha_0)}{\cos(\alpha_0)} x + \frac{1}{2}g \frac{x^2}{v_0^2\cos^2(\alpha)} \\ &=\tan(\alpha_0) x + \frac{g}{2v_0\cos^2(\alpha_0)}x^2 \end{aligned}\]

Ferill hlutar í kasthreyfingu hefur því lögun fleygboga \(y=ax^2+bx+c\) þar sem

\[\begin{aligned} a&=\frac{g}{2v_0\cos^2(\alpha_0)}\\ b&=\tan(\alpha_0) \\ c&=0 \end{aligned}\]
_images/kasthr.svg

Út frá jöfnunni er meðal annars hægt að sjá hvar hluturinn lendir. Þá finnum við hvenær hæð boltans er núll, sem er þegar \(x=0\) (upphaf) og þegar

\[\begin{aligned} x&=\frac{-2\tan(\alpha_0)v_0^2\cos^2(\alpha_0)}{g}\\ &=\frac{-2\sin(\alpha_0)\cos(\alpha_0)v_0^2}{g} \\ &= \frac{-\sin(2\alpha_0)v_0^2}{g} \\ \end{aligned}\]

því \(\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\) .

Það er líka hægt að finna hámarkshæð hlutar í kasthreyfingu með því að finna hágildi þessarrar jöfnu. Þá finnum við hvar afleiða fallsins með tilliti til \(x\) er núll.

Afleiðan er

\[y'=\tan(\alpha_0)+\frac{g}{v_0^2\cos^2(\alpha_0)}x\]

Hápunktur fleygbogans er því í

\[x=\frac{-\tan(\alpha_0)v_0^2\cos^2(\alpha_0)}{g} = \frac{-\sin(\alpha_0)\cos(\alpha_0) v_0^2}{g}\]

Munið að eðlisfræði gengur ekki út á að muna jöfnur, heldur að kunna hvernig á að nota þær. Til dæmis er ástæðulaust að leggja mikla vinnu í að muna þessar formúlur, þegar það er lítið mál að leiða þær út frá hreyfijöfnunum.


5.2. Hringhreyfing

Hröðunarvigurinn hefur stefnu óháða stefnu hraðavigursins, en segir til um hvernig hraðavigurinn mun breytast. Þægilegt er að vinna með vigurinn í tveimur hlutum, annars vegar þáttinn samsíða hraðavigrinum \(a_\parallel\) og hins vegar hornrétta þáttinn \(a_\perp\) . Þessir þættir eru líka táknaðir með \(a_{tan}\) (tangential: eins og snertill) og \(a_{rad}\) (radial: eins og radíus).

_images/tvividd.svg

\(a_\parallel\) hefur áhrif á lengd hraðavigursins, ferðina (e. speed) en \(a_\perp\) hefur áhrif á stefnu vigursins. Ef hlutur hefur bara hröðun sem er hornrétt á hraðavigurinn er lengd hraðavigursins föst. Þannig getur hlutur haft hröðun og ferð hlutarins verið fasti.

Ábending

Hringekja snýst með jöfnum hraða. Barn á hringekjunni hefur hraðavigur sem er snertill við hringinn í staðsetningu barnsins. Þar sem snúningshraðinn er jafn er ferð barnsins fasti, en hraðavigurinn er samt sem áður stöðugt að breytast. Stefnan er það eina sem breytist svo barnið hlýtur að hafa hröðun sem er hornrétt á hraðann, þ.e. beint inn að miðjunni.

_images/hringekja.svg

Þessi hröðun kallast miðsóknarhröðun (e.centripetal acceleration).

Eins og áður segir vísar hröðunarvigur alltaf inn í kúpta hluta ferilsins. Þegar hröðunin er bara hornrétt á hraðann er talað um jafna hringhreyfingu (e.uniform circular motion).

\[\begin{aligned} v &= \frac{2 \pi R}{T} \\ a_\parallel = a_\perp &= \frac{v^2}{R}\\ &= \frac{4 \pi^2 R}{T^2} \end{aligned}\]

Þegar hlutur í hringhreyfingu hefur ekki fasta ferð er talað um ójafna hringhreyfingu (e.nonuniform circular motion). Þá er hröðunarvigurinn ekki hornréttur á hraðann og lengd hraðavigursins breytileg með tíma.

Takið eftir að stærðirnar \(\frac{d |\overline{v}|}{dt}\) og \(\Bigl|\frac{d \overline{v}}{dt}\Bigr|\) eru ekki endilega jafnar. Sú fyrri, afleiða ferðarinnar \(|\overline{v}|\), er sá þáttur hröðunarinnar sem er samsíða hraðanum, \(a_{\parallel}\). Hún er núll í jafnri hringhreyfingu þar sem ferðin er fasti. Sú seinni er stærð afleiðu hraðans sem er stærð hröðunarvigursins. Hún er aðeins núll þegar hraðavigurinn er fasti, þ.e. þegar engin hröðun er. Þá ferðast hluturinn í beina línu með föstum hraða.

Ábending

Lykkja á rússíbana er dæmi um ójafna hringhreyfingu. Ferð rússíbanavagnsins er ekki fasti á meðan hann ferðast eftir lykkjunni, heldur er mest neðst og minnst efst. Takið eftir hvernig hröðunavigurinn breytist og reynið að sjá fyrir ykkur þætti hans á mismunandi stöðum í lykkjunni.

_images/nonuniform.svg