4. Hraði og hröðun

4.1. Hraði

Hraði (e. velocity) hlutar á hreyfingu er skilgreindur sem breyting á staðsetningu á tímaeiningu. Algengast er að nota metra á sekúndu (m/s) í útreikningum, en í daglegu tali er oft talað um kílómetra á klukkustund.

Táknum staðsetningu hlutar við tímann \(t_1\) með \(x_1\) og staðsetningu við tímann \(t_2\) með \(x_2\) þá reiknum við hraðann með

\[v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]

Athugasemd

Gríski stafurinn \(\Delta\) (stórt delta) er oft notaður til að tákna mismun og breytingar.

Athugasemd

Hraði er hefur bæði stærð og stefnu og er því vigur . Hraði getur verið í allar stefnur \((x,y,z)\) svo hraðavigurinn er yfirleitt táknaður með \(\overline{v}=(v_x, v_y, v_z)\) . Í þessum kafla er fengist við einvíðar hreyfingar, þar sem allar færslur eru eftir sömu línunni, aðeins einn þáttur hraðavigursins er ekki núll.

Ábending

Allra bestu hlaupararnir í 100 metra spretthlaupi klára hlaupið á um 10 sekúndum. Hver er meðalhraði hlauparanna í kílómetrum á klukkustund?

Lausn

\[\frac{100\text{ m}}{10\text{ s}}=10\frac{\text{m}}{\text{s}}\]

Breytum kílómetrum í metra og sekúndum í klukkustundir. Við vitum að \(1 \text{ km} = 1 \cdot 10^3 \text{ m} =1000 \text{ m}\) og \(1 \text{ klst}=60 \text{ mínútur}=60\cdot60 \text{ sekúndur}=3600 \text{ sekúndur}\)

Því gildir að:

\[\begin{aligned} \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}}&=1 \\ \frac{1 \text{ klst}}{3600\text{ s}}&=1 \end{aligned}\]

Það má alltaf margfalda stærð með 1 og því getum við breytt \(10\) m/s í km/klst með því að margfalda:

\[\begin{aligned} 10\frac{\text{ m}}{\text{ s}}&=10\frac{\text{ m}}{\text{ s}}\cdot \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}} \cdot \frac{3600\text{ s}}{1 \text{ klst}}\\ &=\frac{10\cdot 1 \cdot 3600}{1000 \cdot 1} \frac{\text{ km}}{\text{ klst}} \\ &=36 \frac{\text{km}}{\text{klst}} \end{aligned}\]

því einingarnar styttast út.

4.2. Hröðun

Hröðun (e. acceleration) hlutar á hreyfingu er skilgreindur sem breyting á hraða á tímaeiningu. Ef hraði hlutar við tímann \(t_1\) er \(v_1\) og hraðinn við tímann \(t_2\) er \(v_2\) þá reiknum við hröðunina með:

\[a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Athugasemd

Líkt og hraði þá er hröðun líka vigur með stærð og stefnu. Hröðunarvigurinn er yfirleitt táknaður með \(\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)\) .

Hröðunarvigurinn og hraðavigurinn eru ekki endilega samstefna.

Ábending

Til þess að eldflaug geti komist úr þyngdarsviði jarðarinnar þarf hún að ferðast með hraðanum \(11.2\) km/s. Hve mikla hröðun mun eldflaugin verða fyrir ef hún fer af stað úr kyrrstöðu og er komin í lausnarhraðann eftir 6 mínútur?

Lausn

10 mínútur eru 600 sekúndur, hér er því \(t_2=600\) s og \(v_2=11.2\) km/s \(=11200\) m/s. Þar sem eldflaugin byrjar í kyrrstöðu er \(v_1=0\) m/s og \(t_1=0\). Því þarf hröðunin að vera

\[a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1} =\frac{11200 \text{m/s}-0 \text{m/s}}{600 \text{s}-0\text{s}}=\frac{11200 \text{m/s}}{600\text{s}}=18.67 \text{m/s}^2\]

4.3. Myndræn túlkun

staðsetning hlutar teiknuð upp sem fall af tíma þá táknar hallatala grafsins hraða hlutarins. Hér er það gert fyrir fyrra dæmið:

_images/hlauparar.svg

hraði hlutar teiknaður upp sem fall af tíma þá táknar hallatala grafsins hröðun hlutarins. Hér er það gert fyrir fyrra dæmið:

_images/eldflaug.svg

Athugasemd

Láréttur ferill á \(v-t\) grafi (hraði sem fall af tíma grafi) þýðir að hraði hlutarins sé fastur, þ.e. að hröðunin sé núll ( \(a=0\) ). Þá er ferillinn á \(x-t\) grafi (staðsetning sem fall af tíma grafi) líka bein lína, þ.e. hallatalan er sú sama allstaðar.

Ábending

Blettatígur sér antílópu í 35 m fjarlægð og hleypur af stað. Einni sekúndu síðar hefur antílópan áttað sig á hættunni og hleypur af stað. Blettatígrar geta hlaupið á 99 km/klst (en aðeins í 100 metra sprettum) en antílópur geta hlaupið á hraðanum 81 km/klst og hafa þol í lengri vegalengdir. Ef gert er ráð fyrir hraðabreyting dýranna taki engan tíma (e. immediate, instantaneous), mun antílópan lifa af? Ef ekki, hvenær nær blettatígurinn bráðinni?

Lausn

Byrjum á að breyta í SI-einingar. Fyrir blettatígurinn:

\[99 \frac{\text{ km}}{\text{ klst}}\cdot \frac{1\text{ klst}}{3600\text{ s}} \cdot \frac{1000\text{ m}}{1 \text{ km}} = \frac{99}{3.6} \frac{\text{m}}{\text{s}} = 27.5\frac{\text{m}}{\text{s}}\]

Fyrir antílópuna:

\[81 \frac{\text{ km}}{\text{ klst}} = \frac{81}{3.6} \frac{\text{ m}}{\text{ s}} = 22.5\frac{\text{ m}}{\text{ s}}\]

Á þessari fyrstu sekúndu kemst blettatígurinn 27.5 metrum nær antílópunni, þá eru 7.5 metrar á milli þeirra. Mismunurinn á hraða þeirra er \(27.5\frac{\text{ m}}{\text{ s}}-22.5\frac{\text{ m}}{\text{ s}}=5\frac{\text{ m}}{\text{ s}}\) . Því myndi það taka blettatígurinn \(\frac{7.5\text{ m}}{5 \text{m/s}}=1.5 \text{ s}\) að loka bilinu og ná antílópunni. Blettatígurinn nær antílópunni 2.5 sekúndum eftir að hann hleypur af stað.

Svona dæmi er oft þægilegt að leysa myndrænt. Hér er staðsetning dýranna teiknuð sem fall af tíma og þá er auðvelt að sjá að blettatígurinn nær antílópunni þegar ferlarnir skerast. Hefðu ferlarnir ekki skorist hefði antílópan komist undan. Tíminn \(t=3.6363\) m/s er merktur inn því það er tíminn sem það tæki blettatígurinn að hlaupa sinn 100 metra sprett.

_images/antilopa.svg

4.4. Augnablikshraði og augnablikshröðun

Sé hraði hlutar ekki jafn allan tímann, þ.e. ef \(v\) er ekki fasti þarf að reikna augnablikshraða. Þá er hraðinn reiknaður með að skoða staðsetninguna með afar stuttu millibili, við tímann \(t \text{ og } t+h\) þar sem \(h\) er mjög lítil tala. Það er það sama og að reikna afleiðu (diffra, deilda, e. differentiate) staðsetningarinnar m.t.t. tíma:

\[v=\lim_{h\to 0} \frac{x_{t+h}-x_{t}}{(t+h) - t} = \lim_{h\to 0}\frac{x_{t+h}-x_{t}}{h} = \frac{dx}{dt}\]

Sömuleiðis er augnablikshröðun hlutar afleiða hraðans m.t.t. tíma:

\[a=\lim_{h\to 0} \frac{v_{t+h}-v_{t}}{(t+h) - t} = \lim_{h\to 0}\frac{v_{t+h}-v_{t}}{h} = \frac{dv}{dt}\]

Út frá þessum skilgreiningum getum við leitt út hreyfijöfnurnar (e. kinematic equations) fyrir hlut sem hefur upphafsstaðsetningu \(x_0\) , upphafshraða \(v_0\) og fasta hröðun \(a\):


\[\begin{aligned} v&=v_0+a\cdot t \qquad &\text{Hraði sem fall af tíma} \\ x&=x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a\cdot t^2 \qquad & \text{Staðsetning sem fall af tíma} \\ v^2 &=v_0^2+2a\cdot (x-x_0) \qquad & \text{Tímaóháða jafnan} \\ x-x_0 &=\frac{1}{2}(v_0 + v)\cdot t \qquad & \text{Færsla} \end{aligned}\]

Sýna útleiðslu

Ábending

Bíll bíður á rauðu ljósi. Þegar ljósið verður grænt fær bíllinn hröðunina \(6 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}\) . Hve hratt fer hann eftir 5 sekúndur og hve langt í burtu er hann?

Lausn

Notum hreyfijöfnurnar :

\[\begin{aligned} v&=v_0+a\cdot t = 0\frac{\text{ m}}{\text{ s}}+6 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2} \cdot 5\text{ s} \\ v&= 30 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\\ x&=x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a\cdot t^2 = 0\text{ m}+0\frac{\text{ m}}{\text{ s}}\cdot 5\text{ s} + \frac{1}{2}\cdot 6 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2} \cdot (5\text{ s})^2 \\ x&= 75\text{ m} \end{aligned}\]

4.5. Þyngdarhröðun

Allt sem er nálægt yfirborði jarðarinnar verður fyrir sömu hröðun í átt að miðju jarðarinnar (í daglegu tali köllum við þessa átt niður). Við táknum þessa tilteknu hröðun, þyngdarhröðun, með \(g\).

\(g\) er vigur sem bendir í átt að miðju jarðar. Gildi \(g\) er dálítið mismunandi eftir staðsetningu, bæði hæð yfir miðju jarðar (lækkandi með hæð) og því á hvaða breiddargráðu mælt er (lægra við miðbaug en hærra við pólana) en á Íslandi er gildið við sjávarmál

\[g=9.82\frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}\]

Ábending

Una stendur á Golden Gate brúnni í San Fransisco og ætlar að taka mynd af útsýninu. Þar er þyngdarhröðunin 9,80 m/s \(^2\) . Henni bregður og missir símann sinn yfir handriðið, síminn steypist að yfirborði sjávarins, 67 metrum neðar.

Hve hratt hreyfist síminn þegar hann skellur á yfirborðinu? Hve langan tíma tekur fallið? (Gera má ráð fyrir að síminn byrji í kyrrstöðu og að engin loftmótstaða sé).

_images/goldenuna.svg

Lausn

Notum hreyfijöfnurnar , fyrst tímaóháðu jöfnuna til að reikna hraðann:

\[\begin{aligned} v^2 &= v_0^2 + 2a\cdot (x-x_0) = \left( 0\frac{\text{ m}}{\text{ s}}\right)^2+ 2\cdot g \cdot(67-0) \text{m}\\ v^2 &= 1313.2 \frac{\text{ m}^2}{\text{ s}^2} \\ v &= \sqrt{1313.2 \frac{\text{ m}^2}{\text{ s}^2}} = 36.2 \frac{\text{ m}}{\text{ s}} \end{aligned}\]

Notum síðan hraðajöfnuna til að finna tímann sem fallið tekur:

\[\begin{aligned} v&=v_0+a\cdot t \\ t&=\frac{v-v_0}{a} = \frac{36.2 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}}{9.80 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}} \\ t&=3.7 \text{s} \end{aligned}\]
_images/unasimi.svg

Ábending

Körfubolta er kastað beint upp með hraðanum \(v_0=5 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\) . Hve hátt drífur boltinn?

Lausn

Boltinn ferðast upp á við, en þyngdarhröðunin togar í hann og hægir þannig á honum. Að endingu hefur þyngdarhröðunin hægt það mikið á honum að hann stoppar í augnablik áður en hann fellur á ný til jarðar.

Höfum því upphafshraðann \(v_0=5 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\), lokahraðann \(v=0 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\) og hröðun \(g=9.82\frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}\). Upphafleg staðsetning boltans er \(x_0=0\), en við leitum að hæðinni \(x\) .

Hér þarf að fara varlega með formerki! Við vitum að hröðunin stefnir niður en upphafshraðinn upp. Því reiknum við með \(g\) sem neikvæðri tölu.

\[\begin{aligned} v^2 &=v_0^2+2a\cdot (x-x_0)\\ \left(0 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\right) &= \left(5 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\right)^2+2\cdot(-9.82\frac{\text{ m}}{\text{ s}^2}) \cdot(x-0 \text{m}) \\ x &= \frac{\left(5 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}\right)^2}{-2\cdot(-9.82\frac{\text{ m}}{\text{ s}^2})} = 1.27 \text{ m} \end{aligned}\]
_images/asakarfa.svg

Ábending

SpaceX ætlar að skjóta upp eldflaug. Vélar eldflaugarinnar gefa henni hröðun \(a_1=30.0\text{ m/s}^2\) upp á við. Eftir 10 sekúndur er slökkt á vélunum og eldflaugin verður í frjálsu falli.

  • Hve langt kemst skutlan upp áður en hún tekur að falla í átt að jörðu?
  • Hver verður hraði eldflaugarinnar þegar hún brotlendir aftur á jörðinni?
  • Hvenær brotlendir hún á jörðinni?

Lausn

Munum að allir hlutir nálægt yfirborði jarðar fá hröðunina \(g=9.82\text{ m/s}^2\) , sama hvort þeir eru á hreyfingu eða verða fyrir öðrum hröðunum. Við gerum ráð fyrir að eldflaugin verði líka fyrir þeirri hröðun. Heildarhröðunin á eldflaugina á meðan kveikt er á vélunum er því \(a_1-g=30.0\text{ m/s}^s-9.8\text{ m/s}^2 = 20.2\text{ m/s}^2\) . Skiptum reikningum okkar upp í nokkra hluta (0 er upphafsástand, 1 er þegar vélarnar bila, 2 er þegar flaugin er í hámarkshæð og 3 þegar hún brotlendir).

Notum nú hreyfijöfnurnar til að reikna hve hratt flaugin fer þegar vélarnar bila.

\[\begin{aligned} v_1&=v_0+a\cdot t_1 \\ v_1&=v_0+(a_1-g)\cdot t_1 \\ v_1&= 0 \text{ m/s} + (30\text{ m/s}^s-9.82\text{ m/s}^2) \cdot 10 \text{ s} \\ v_1 &= 201.8 \text{ m/s} \\ \end{aligned}\]

Þá er eldflaugin í hæðinni:

\[\begin{aligned} x_1&=x_0 + v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} a\cdot t_1^2 \\ x_1&=x_0 + v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} (a_1-g)\cdot t_1^2 \\ x_1&= 0\text{ m} + 0 \text{ m/s} \cdot 10 \text{ s} +\frac12 (30\text{ m/s}^s-9.82\text{ m/s}^2) \cdot (10 \text{ s})^2 \\ x_1&=1009 \text{ m}\\ \end{aligned}\]
_images/flokid2.svg

Þegar vélarnar bila er flaugin í \(1009 \text{ m}\) hæð yfir yfirborði, ferðast upp á við með hraðanum \(201.8 \text{ m/s}\) og verður fyrir þyngdarhröðuninni \(g= 9.82 \text{ m/s}\) niður á við. Reiknum nú hvenær hraði flaugarinnar er orðinn \(v_2=0 \text{ m/s}\) .

\[\begin{aligned} v_2&=v_1+a\cdot t_2 \\ v_2&=v_1-g\cdot t_2 \\ t_2&=\frac{v_2-v_1}{-g} = \frac{0 \text{ m/s}-201.8 \text{ m/s}}{-9.82 \text{ m/s}^2}\\ t_2&=20.5 \text{ s} \end{aligned}\]

Þá er eldflaugin í hæðinni:

\[\begin{aligned} x_2 &= x_1 + v_1 \cdot t_2 + \frac{1}{2} (-g)\cdot t_2^2 \\ x_2 &= 1009 \text{ m} + 201.8 \text{ m/s} \cdot 20,5 \text{ s} - \frac12 \cdot 9.82 \text{ m/s}^2 \cdot (20,5 \text{ s})^2 \\ x_2 &= 3082 \text{ m} \\ \end{aligned}\]
_images/flokid3.svg

Nú byrjar hún að falla til jarðarinnar úr þessari hæð. Hún hefur enn hröðunina \(g=9.82\text{ m/s}^2\) niður á við. Notum tímaóháðu jöfnuna:

\[\begin{aligned} v_3^2 &=v_2^2+2(-g)\cdot (x_0-x_2) \\ v_3&= \pm \sqrt{0\text{ m/s} + 2\cdot (-9.82\text{ m/s}^2)(0\text{ m} - 3082\text{ m} ) } \\ v_3 &= - 246 \text{ m/s} \end{aligned}\]

Veljum neikvætt formerki á \(v_3\) kemur vegna þess að hraðinn stefnir niður á við. Reiknum að lokum hve langan tíma fallið til jarðarinnar tekur:

\[\begin{aligned} x_0-x_2 &=\frac{1}{2}(v_2 + v_3)\cdot t_3\\ t_3 &= \frac{x_0-x_2}{\frac12 (v_2 + v_3)} \\ t_3 &= \frac{0-3082\text{ m}}{\frac12 (0 - 246 \text{ m/s})} \\ t_3 &= 25 \text{ s}\\ \end{aligned}\]

Þessi misheppnaða svaðilför eldflaugarinnar tekur hana því \(t_1+t_2+t_3=55.5 \text{s}\) .

_images/flokid.svg