2. Mælieiningar

2.1. SI-einingakerfið

Í nær öllum löndum heims er notað samræmt mælikerfi, SI einingakerfið, þar sem einkennandi stærðir heimsins hafa eigin grunneiningar. Lengd hefur þar grunneininguna metri og tími grunneininguna sekúnda.

SI-grunneiningarnar eru sjö:

\[\begin{aligned}\begin{array}{c | c | c} \text{Mælistærð} & \text{Eining} & \text{Tákn} \\ \hline \text{vegalengd} & \text{metri} & m \\ \text{tími} & \text{sekúnda} & s \\ \text{massi} & \text{kílógramm} & kg\\ \text{rafstraumur} & \text{Ampere} & A\\ \text{hitastig} & \text{Kelvin} & K \\ \text{ljósstyrkur} & \text{candela} & cd \\ \text{fjöldi} & \text{mól} & mól \\ \hline \end{array}\end{aligned}\]

Aðrar einingar í SI einingakerfinu eru settar saman úr grunneiningunum. Hraði, breyting á staðsetningu yfir eitthvert tímabil, hefur eininguna metrar á sekúndu (m/s).

Ábending

Maður sem gengur 20 metra á 10 sekúndum hefur hraðann \(20 \text{ m}/ 10 \text{ s} = 2 \text{ m/s}\) . Það þýðir að á hverri sekúndu sem maðurinn gengur fer hann tvo metra.

2.1.1. Forskeyti SI-kerfisins

Þegar fengist er við stærri mælistærðir, svo sem langar vegalengdir, er unnið með marga metra. Því hafa vísindamenn vanið sig á að kalla þúsund metra öðru nafni: einn kílómetra (\(1000 \text{m} = 1 \text{km}\)). Þegar fengist er við litlar mælistærðir, svo sem þykkt á pappír, fást aðeins brot af heilum metrum. Algengt er að nota millímetra, einn þúsundasta úr metra. Þetta er tekið saman í þessari töflu, á milli kíló og millí eru:

\[\begin{aligned}\begin{array}{c|c|c} \text{Forskeyti} & \text{Tákn} & \text{Veldi} & \text{Margfeldi}\\ \hline \text{Kíló} & \text{k} & 10^{3} & 1000\\ \text{Hektó} & \text{h} & 10^{2} & 100 \\ \text{Deka} & \text{da} & 10^{1} & 10 \\ \text{--} & \text{--} & 10^{0} & 1 \\ \text{Desi} & \text{d} & 10^{-1} & 0.1\\ \text{Centi} & \text{c} & 10^{-2} & 0.01\\ \text{Millí} & \text{m} & 10^{-3} & 0.001 \\ \hline \end{array}\end{aligned}\]

Við getum því lýst 10 metrum sem 1 dam, 100 dm eða 1000 cm. Mörg hafa séð svona mynd sem nota má til að breyta á milli:

_images/einingahus.svg

Í eðlisfræði er líka fengist við risastór fyrirbæri (eins og stjörnuþokur úti í geimi) og allra minnstu fyrirbærin (eins og rafeindir). Þá þarf enn stærri forskeyti:

\[\begin{aligned}\begin{array}{c|c|c} \text{Forskeyti} & \text{Tákn} & \text{Veldi} & \text{Margfeldi}\\ \hline \text{Peta} & \text{P} & 10^{15} & 1 000 000 000 000 000 \\ \text{Tera} & \text{T} & 10^{12} & 1 000 000 000 000 \\ \text{Giga} & \text{G} & 10^{9} & 1 000 000 000 \\ \text{Mega} & \text{M} & 10^{6} & 1 000 000 \\ \text{Kíló} & \text{k} & 10^{3} & 1 000\\ \text{--} & \text{--} & 10^0 & 1\\ \text{Millí} & \text{m} & 10^{-3} & 0.001 \\ \text{Míkró} & \mu & 10^{-6} & 0.000 001 \\ \text{Nanó} & \text{n} & 10^{-9} & 0.000 000 001 \\ \text{Píkó} & \text{p} & 10^{-12} & 0.000 000 000 001 \\ \text{Femtó} & \text{f} & 10^{-15} & 0.000 000 000 000 001 \\ \hline \end{array}\end{aligned}\]
_images/einingahus2.svg

Athugasemd

Athugið að þegar fengist er við massa þá er SI-einingin kílógramm en ekki gramm.

Ábending

Frá jörðinni til sólarinnar eru \(1.496 \cdot 10^{11}\) m. Ritum þetta með mismunandi einingum.

_images/sol.svg
\[\begin{aligned} 1.496 \cdot 10^{11} \text{ m} &= 149600000000 \text{ m} \\ & = 149.6 \cdot 10^{9} \text{ m} \\ & = 149.6 \text{ Gm} \\ \end{aligned}\]

Það eru því 149.6 gígametrar til sólarinnar.

Ábending

Rafeind í vetnisatómi ferðast í kringum kjarnann í fjarlægðinni \(5.29\cdot 10^{-11}\) m. Ritum þetta með mismunandi einingum.

_images/atom.svg
\[\begin{aligned} 5.29 \cdot 10^{-11} \text{ m} &= 0.0000000000529 \text{ m}\\ &= 52.9 \cdot 10^{-12} \text{ m}\\ &= 52.9 \text{ pm}\\ \end{aligned}\]

Rafeindin er því í 52.9 píkómetra fjarlægð frá kjarnanum.

Ábending

Edda á jörð sem er 12 ferkílómetrar. Hvað er lóðin margir hektarar (ferhektómetrar)?

Lausn

1 ferkílómetri er reitur sem er 1 kílómetri á hvorn kant. 1 kílómetri er 10 hektómetrar og því er:

\[\begin{aligned} 1 \text{ km}^2 &= 1 \text{ km} \cdot 1 \text{ km} \\ &= 10 \text{ hm} \cdot 10 \text{ hm}\\ &= 100 \text{ hm}^2. \end{aligned}\]

Jörðin hennar Eddu er því 1200 hektarar.

_images/hektari.svg

2.2. Önnur mælikerfi

Í Bandaríkjunum er SI-einingakerfið yfirleitt ekki notað. Þar eru lengdir mældar í eftirfarandi einingum:

\[\begin{aligned}\begin{array}{c | c | c } \text{Mælistærð} & \text{Enskt heiti}& \text{Grunneining} \\ \hline \text{Míla} & \text{mile} & 1609 \text{ m} \\ \text{Stika} &\text{yard} & 0.9144 \text{ m} \\ \text{Fet} & \text{foot} & 0.3048 \text{ m} \\ \text{Tomma} & \text{inch} & 0.0254 \text{ m} \\ \hline \end{array}\end{aligned}\]

Ábending

Jörðin hennar Eddu er 12 ferkílómetrar. Hvað eru það margar fermílur?

Lausn

\[\begin{aligned} 1 \text{ míla} &= 1609 \text{ m} = 1.609 \text{ km} \\ \left( \frac{1}{1.609} \text{ míla} \right) ^2 &= (1 \text{ km})^2\\ 0.386 \text{ míla}^2 &= 1 \text{ km}^2 \\ 12 \cdot 0.386 \text{ míla}^2 &= 12 \text{ km}^2\\ \end{aligned}\]

12 ferkílómetrar eru því 4.635 fermílur.

Þar er hitastig líka mælt á Fahrenheit-kvarða, sem breyta má í Celcius með eftirfarandi formúlu:

\[T_{°C}=\frac{5}{9}(T_{°F}-32)\]

SI- einingin fyrir hitastig er hvorki Celcius-kvarðinn né Fahrenheit-kvarðinn, heldur Kelvin. Svona má breyta Celcius í Kelvin:

\[T_{K}=T_{°C}-273.15\]

Kelvin-kvarðinn er svipaður Celcius-kvarðanum að því leyti að aukning í hita um 1 K er jafnt aukningu í hita um 1 °C. Munurinn er sá að Celcius setur 0 °C við frostmark vatns þá setur Kelvin 0 við alkul, lægsta mögulega hitastig efnisheimsins (-273.15 °C= 0 K). Það eru því ekki til neikvæð hitastig á Kelvin-kvarðanum!